 |
 |
|
|
[ Pobierz caÅ‚ość w formacie PDF ] wzory a11 = 30 symbole a15 = 42 komentarze Korzystamy z an = a1 + (n - 1)r a11 = 30 a1 = 30 - 10r a15 = 42 4r = 42 - 30 / : 4 a1 + (11 - 1)r = 30 a1 = 30 - 10 · 3 a1 + (15 - 1)r = 42 r = 3 a1 + 10r = 30 a1 = 0 a1 + 14r = 42 r = 3 a1 = 30 - 10r 30 - 10r + 14r = 42 Odp. a1 = 0 r = 3 CiÄ…g geometryczny a1 pierwszy wyraz ciÄ…gu q iloraz ciÄ…gu geometrycznego Definicja: Kolejny wyraz ciÄ…gu geometrycznego powstaje po pomnożeniu poprzedniego wyrazu przez spis treÅ›ci iloraz q. wzory an+1 = an · q symbole PrzykÅ‚ady: komentarze a1 = 3 q = 2 3, 6, 12, 24, 48, . . . a1 = -2 q = -4 -2, 8, -32, 128, -512, . . . 1 1 1 a1 = 9 q = 9, 3, 1, , , . . . 3 3 9 n ty wyraz ciÄ…gu geometrycznego an = a1 · qn-1 suma n poczÄ…tkowych wyrazów ciÄ…gu geometrycznego 1 - qn Sn = a1 · 1 - q wÅ‚asność ciÄ…gu geometrycznego a2 = an-1 · an+1 n CiÄ…g geometryczny Dla poniższych ciÄ…gów geometrycznych podaj pierwszy wyraz a1 i iloraz q. Oblicz wartość a9 i a12. 3, 6, 12, . . . 8, 4, 2, . . . spis treÅ›ci Dla poniższych ciÄ…gów geometrycznych oblicz sumÄ™ pierwszych dziesiÄ™ciu wyrazów. wzory 2, 6, 18, . . . 16, 8, 4, . . . symbole Zbadaj, czy ciÄ…g jest geometryczny. komentarze an = 3n an = 2n Wyznacz ciÄ…g geometryczny majÄ…c dane. a2 = 10 a3 = 20 a4 = 16 a5 = 2 Wyznacz ciÄ…g geometryczny majÄ…c dane. a3 = 9 a5 = 81 a4 = 1 a7 = 8 Dla poniższego ciÄ…gu geometrycznego podaj pierwszy wyraz a1 i iloraz q. Oblicz wartość a9 i a12. 3, 6, 12, . . . RozwiÄ…zanie: spis treÅ›ci a1 = 3 wzory Korzystamy z definicji symbole a2 = a1 · q komentarze 6 = 3 · q / : 3 q = 2 Korzystamy z an = a1 · qn-1 a9 = 3 · 29-1 = 3 · 28 = 3 · 256 = 768 a12 = 3 · 212-1 = 3 · 211 = 3 · 2048 = 6144 Dla poniższego ciÄ…gu geometrycznego podaj pierwszy wyraz a1 i iloraz q. Oblicz wartość a9 i a12. 8, 4, 2, . . . RozwiÄ…zanie: spis treÅ›ci a1 = 8 wzory Korzystamy z definicji symbole a2 = a1 · q komentarze 4 = 8 · q / : 8 4 1 q = = 8 2 Korzystamy z an = a1 · qn-1 9-1 1 8 1 8 1 1 a9 = 8 · = 8 · = 8 · = = 2 2 256 256 32 1 12-1 1 11 1 8 1 a12 = 8 · = 8 · = 8 · = = 2 2 2048 2048 256 Dla poniższego ciÄ…gu geometrycznego oblicz sumÄ™ pierwszych dziesiÄ™ciu wyrazów. 2, 6, 18, . . . RozwiÄ…zanie: 1 - qn spis treÅ›ci Korzystamy z Sn = a1 · 1 - q wzory a1 = 2 symbole Korzystamy z definicji komentarze a2 = a1 · q 6 = 2 · q / : 2 q = 3 1 - 310 1 - 59049 -59048 S10 = 2 · = 2 · = 2 · = 59048 1 - 3 -2 -2 Dla poniższego ciÄ…gu geometrycznego oblicz sumÄ™ pierwszych dziesiÄ™ciu wyrazów. 16, 8, 4, . . . RozwiÄ…zanie: 1 - qn spis treÅ›ci Korzystamy z Sn = a1 · 1 - q wzory a1 = 16 symbole Korzystamy z definicji komentarze a2 = a1 · q 8 = 16 · q / : 16 8 1 q = = 16 2 1 10 1 1 - 1 - 1 1 1 2 210 S10 = 16· = 16· = 16· 1 - : = 16· 1 - · 2 = 1 1 1 - 210 2 1024 2 2 1024 1 1023 32 · 1023 1023 31 = 32 · - = 32 · = = = 31 1024 1024 1024 1024 32 32 Zbadaj, czy ciÄ…g jest geometryczny. an = 3n Korzystamy z definicji an+1 = an · q / : an spis treÅ›ci an+1 q = wzory an symbole an+1 CiÄ…g jest ciÄ…giem geometrycznym, jeżeli jest staÅ‚e (niezależne od n) an komentarze an = 3n an+1 = 3n+1 an+1 3n+1 3n · 3 = = = 3 an 3n 3n Odp. CiÄ…g an = 3n jest geometryczny. Zbadaj, czy ciÄ…g jest geometryczny. an = 2n Korzystamy z definicji an+1 = an · q / : an spis treÅ›ci an+1 q = wzory an symbole an+1 CiÄ…g jest ciÄ…giem geometrycznym, jeżeli jest staÅ‚e (niezależne od n) an komentarze an = 2n an+1 = 2(n + 1) an+1 2(n + 1) n + 1 n 1 1 = = = + = 1 + (zależne od n) an 2n n n n n Odp. CiÄ…g an = 2n nie jest geometryczny. Wyznacz ciÄ…g geometryczny majÄ…c dane. a2 = 10 a3 = 20 RozwiÄ…zanie: spis treÅ›ci Wyznaczyć ciÄ…g geometryczny oznacza, że należy podać jego pierwszy wyraz a1 i iloraz q. wzory Korzystamy z definicji symbole a3 = a2 · q komentarze 20 = 10 · q / : 10 q = 2 a2 = a1 · q 10 = 2 · q / : 2 q = 5 Odp. a1 = 5 q = 2 Wyznacz ciÄ…g geometryczny majÄ…c dane. a4 = 16 a5 = 2 RozwiÄ…zanie: spis treÅ›ci Wyznaczyć ciÄ…g geometryczny oznacza, że należy podać jego pierwszy wyraz a1 i iloraz q. wzory Korzystamy z definicji symbole a5 = a4 · q komentarze 2 = 16 · q / : 16 2 1 q = = 16 8 a1 policzymy z an = a1 · qn-1 4-1 1 a4 = a1 · 8 3 1 16 = a1 · 8 1 16 = a1 · / · 512 512 a1 = 8192 1 Odp. a1 = 8192 q = 8 Wyznacz ciÄ…g geometryczny majÄ…c dane. a3 = 9 a5 = 81 RozwiÄ…zanie: spis treÅ›ci a3 = 9 wzory a5 = 81 symbole Korzystamy z an = a1 · qn-1 komentarze a1 · q3-1 = 9 a1 · q5-1 = 81 a1 · q2 = 9 / : q2 a1 · q4 = 81 ñø 9 ôø ôø a1 = òø q2 ôø 9 ôø óø · q4 = 81 q2 ñø 9 ôø òø a1 = q2 ôø óø 9 · q2 = 81 / : 9 ñø 9 ôø òø a1 = q2 ôø óø q2 = 9 dalej Równanie q2 = 9 ma dwa rozwiÄ…zania q = -3 lub q = 3. ñø ñø 9 9 òø òø a1 = a1 = q2 lub q2 óø óø q = -3 q = 3 ñø ñø 9 spis treÅ›ci 9 òø òø a1 = a1 = (-3)2 32 wzory óø óø q = 3 symbole q = -3 a1 = 1 a1 = 1 komentarze q = -3 q = 3 Odp. RozwiÄ…zaniem sÄ… dwa ciÄ…gi geometryczne: a1 = 1, q = -3 lub a1 = 1, q = 3. Wyznacz ciÄ…g geometryczny majÄ…c dane. a4 = 1 a7 = 8 RozwiÄ…zanie: spis treÅ›ci a4 = 1 wzory a7 = 8 symbole Korzystamy z an = a1 · qn-1 komentarze a1 · q4-1 = 1 a1 · q7-1 = 8 a1 · q3 = 1 / : q3 a1 · q6 = 8 ñø 1 ôø ôø a1 = òø q3 ôø 1 ôø óø · q6 = 8 q3 ñø 1 ôø òø a1 = q3 ôø óø q3 = 8 ñø 1 1 òø a1 = = 23 8 óø q = 2 1 Odp. RozwiÄ…zaniem jest ciÄ…g geometryczny: a1 = , q = 2 8 Kapitalizacja odsetek PrzykÅ‚ad: Na koncie jest 200 zÅ‚. Co roku bank dopisuje 5%. czas konto odsetki poczÄ…tek 200 spis treÅ›ci po roku 210 10 wzory po 2 latach 220,5 10,5 symbole po 3 latach 231,53 11,03 komentarze po 4 latach 243,11 11,58 . . . . . . . . . Jak widać odstetki dopisywane co roku przez bank, zwiekszajÄ… siÄ™. Nazywamy to kapitalizacjÄ… odsetek. Do policzenia, ile bÄ™dziemy mieć na koncie np. po 20 latach, możemy wykorzystać wzór: K = K0 · (1 + p)n K0 kapitaÅ‚ poczÄ…tkowy p procent dopisywany n ile razy dopisano odsetki Procent skÅ‚adany WpÅ‚acasz 6000 zÅ‚ na konto oprocentowane na 5% w skali roku. Ile bÄ™dzie pieniÄ™dzy na koncie po 7 latach, jeżeli odsetki dopisywane sÄ… raz w roku? WpÅ‚acasz 8000 zÅ‚ na konto oprocentowane na 4% w skali roku. Ile bÄ™dzie spis treÅ›ci pieniÄ™dzy na koncie po 5 latach, jeżeli odsetki dopisywane sÄ… co pół roku? wzory WpÅ‚acasz 4000 zÅ‚ na konto oprocentowane na 8% w skali roku. Ile bÄ™dzie symbole pieniÄ™dzy na koncie po 9 latach, jeżeli odsetki dopisywane sÄ… co kwartaÅ‚? komentarze WpÅ‚acasz 6000 zÅ‚ na konto oprocentowane na 5% w skali roku. Ile bÄ™dzie pieniÄ™dzy na koncie po 7 latach, jeżeli odsetki dopisywane sÄ… raz w roku? RozwiÄ…zanie: Korzystamy z K = K0 · (1 + p)n spis treÅ›ci K0= 6000 wzory 5 p = 5% = = 0, 05 100 symbole n = 7 komentarze K = 6000 · (1 + 0, 05)7 = 6000 · (1, 05)7 H" 6000 · 1, 4071 = 8442, 6 Odp. Po 7 latach na koncie bÄ™dzie 8442,6 zÅ‚. WpÅ‚acasz 8000 zÅ‚ na konto oprocentowane na 4% w skali roku. Ile bÄ™dzie pieniÄ™dzy na koncie po 5 latach, jeżeli odsetki dopisywane sÄ… co pół roku? RozwiÄ…zanie: Korzystamy z K = K0 · (1 + p)n spis treÅ›ci K0= 8000 wzory symbole Odsetki sÄ… dopisywane co pół roku czyli 2 razy w roku. 5% w skali roku oznacza, że co pół roku dopisywane jest tylko 5% : 2 = 2, 5%. komentarze 2,5 p = 2, 5% = = 0, 025 100 Odsetki sÄ… dopisywane 2 razy w roku, wiÄ™c w ciÄ…gu 5 lat bÄ™dÄ… dopisywane 2 · 5 = 10 razy. n = 10 K = 8000 · (1 + 0, 025)10 = 8000 · (1, 025)10 H" 8000 · 1, 28 = 10240 Odp. Po 7 latach na koncie bÄ™dzie 10240 zÅ‚. WpÅ‚acasz 4000 zÅ‚ na konto oprocentowane na 8% w skali roku. Ile bÄ™dzie pieniÄ™dzy na koncie po 9 latach, jeżeli odsetki dopisywane sÄ… co kwartaÅ‚? RozwiÄ…zanie: Korzystamy z K = K0 · (1 + p)n spis treÅ›ci K0= 4000 wzory Odsetki sÄ… dopisywane co kwartaÅ‚ (trzy miesiÄ…ce) czyli 4 razy w roku. 8% w skali roku symbole oznacza, że co kwartaÅ‚ dopisywane jest tylko 8% : 4 = 2%. komentarze 2 p = 2% = = 0, 02 100 Odsetki sÄ… dopisywane 4 razy w roku, wiÄ™c w ciÄ…gu 9 lat bÄ™dÄ… dopisywane 4 · 9 = 36 razy. n = 36 K = 4000 · (1 + 0, 02)36 = 4000 · (1, 02)36 H" 4000 · 2, 0399 = 8159, 6 Odp. Po 9 latach na koncie bÄ™dzie 8159,6 zÅ‚. NieskoÅ„czony ciÄ…g geometryczny Suma nieskoÅ„czonego ciÄ…gu geometrycznego a1 S = 1 - q [ Pobierz caÅ‚ość w formacie PDF ] |